Oscilador armónico

Oscilador armónico simple

Quit

Solución

La solución para el oscilador armónico simple es

x[t_]:=A Cos[ω0 t+δ]

Donde las magnitudes a fijar son

ω0=1;
A=1;
δ=0;

Con esto podemos hacer un diagrama de la solución

Plot[x[t],{t,0,10},AxesLabel-> {"t","x(t)"}]

Diferentes amplitudes

La magnitud A  es la amplitud de la oscilación

Clear[A,ω0,δ]
ω0=1;
δ=0;

Plot[{x[t]/.A-> 1,x[t]/.A-> 2,x[t]/. A-> 3},{t,0,10},AxesLabel-> {"t","x(t)"}]

Diferentes fases

La magnitud δ es la fase de la oscilación

Clear[A,ω0,δ]
ω0=1;
A=1;

Plot[{x[t]/.δ-> 0,x[t]/.δ->1,x[t]/.δ-> 2},{t,0,10},AxesLabel-> {"t","x(t)"}]

Diferentes frecuencias

La magnitud ω0 nos da la frecuencia de la oscilación

Clear[A,ω0,δ]
A=1;
δ=0;

Plot[{x[t]/.ω0-> 1,x[t]/.ω0-> 2,x[t]/. ω0-> 3},{t,0,10},AxesLabel-> {"t","x(t)"}]

Animación de la oscilación

Podemos hacer una animación de la oscilación

ω0=1/2;
A=5;
δ=0;

Animate[Graphics[{Polygon[{{-10,-5},{10,5}}],{Orange,Disk[{A Cos[ω0 t+δ],0},1]}}],{t,0,10}]

Oscilador armónico forzado

Quit

Solución

En el caso en el que hay resonancia, la solución se escribe

x[t_]:=Fext/(2ωext m)(t-t0) Sin[ωext t]

Las magnitudes a fijar son

ωext=1;
Fext=1;
m=1;
t0=0;

Podemos dibujar el movimiento según

Plot[x[t],{t,0,10},AxesLabel-> {"t","x(t)"}]

Crecimiento lineal de la amplitud

Podemos verificar que la amplitud crece linealmente

Clear[ωext,Fext,m,t0]
Fext=10;
m=1;
t0=0;
ωext=2;

Plot[{x[t],Fext/(2ωext m)(t-t0),-Fext/(2ωext m)(t-t0)},{t,0,10},AxesLabel-> {"t","x(t)"}]

Diferentes frecuencias forzadoras

Para diferentes valores de ωext tenemos

Clear[ωext,Fext,m,t0]
Fext=1;
m=1;
t0=0;

Plot[{x[t]/.ωext-> 1,x[t]/.ωext-> 2,x[t]/. ωext-> 3},{t,0,10},AxesLabel-> {"t","x(t)"}]

Diferentes fuerzas forzadoras

Para diferentes valores de Fext nos queda

Clear[ωext,Fext,m,t0]
ωext=1;
m=1;
t0=0;

Plot[{x[t]/.Fext-> 1,x[t]/.Fext-> 2,x[t]/. Fext-> 3},{t,0,10},AxesLabel-> {"t","x(t)"}]

Oscilador armónico amortiguado

Solución subamortiguada

Quit

Solución

En el caso subamortiguado, la solución se escribe

x[t_]:=A Exp[-β t] Cos[(Sqrt[ω0^2-β^2]) t+δ]

Podemos hacer un gráfico

β=1;
ω0=2;
A=1;
δ=0;

Plot[x[t],{t,0,10},AxesLabel-> {"t","x(t)"}]

Diferentes amplitudes

La magnitud A  es la amplitud de la oscilación

Clear[A,ω0,δ,β]
ω0=3;
δ=0;
β=1;

Plot[{x[t]/.A-> 1,x[t]/.A-> 2,x[t]/. A-> 3},{t,0,10},AxesLabel-> {"t","x(t)"} ]

Diferentes amortiguaciones

El parámetro β es la amortiguación

Clear[A,ω0,δ,β]
ω0=3;
δ=0;
A=1;

Plot[{x[t]/.β-> 1,x[t]/.β-> 2,x[t]/.β-> 2(Sqrt[2])},{t,0,10},AxesLabel-> {"t","x(t)"},PlotRange->All ]

Solución sobreamortiguada

Quit

Solución

En el caso sobreamortiguado, la solución se escribe

x[t_]:=A Exp[-β t] (Ap Exp[(Sqrt[β^2-ω0^2]) t]+Am Exp[-(Sqrt[β^2-ω0^2]) t])

Podemos hacer un dibujo

β=2;
ω0=1;
Ap=1;
Am=1;
δ=0;

Plot[x[t],{t,0,10},AxesLabel-> {"t","x(t)"}]

Diferentes amplitudes

El parámetro Am es una amplitud que nos dice qué tanto oscila antes de amortiguarse

Clear[Ap,Am,ω0,δ,β]
ω0=1;
δ=0;
β=3;
Ap=-2;

Plot[{x[t]/.Am-> 1,x[t]/.Am-> 2,x[t]/. Am-> 3},{t,0,10},AxesLabel-> {"t","x(t)"} ]

Diferentes amortiguaciones

El parámetro β es la amortiguación

Clear[Ap,Am,ω0,δ,β]
ω0=1;
δ=0;
Ap=1;
Am=-2;

Plot[{x[t]/.β-> 2,x[t]/.β-> 3,x[t]/.β-> 4},{t,0,10},AxesLabel-> {"t","x(t)"},PlotRange->All ]

Solución crítica

Quit

Solución

x[t_]:=a (t-t0) Exp[-β t]

Podemos hacer un gráfico

β=2;
a=-1;
t0=21;

Plot[x[t],{t,0,10},AxesLabel-> {"t","x(t)"}]

Diferentes amplitudes

El parámetro Am es una amplitud que nos dice qué tanto oscila antes de amortiguarse

Clear[Ap,Am,ω0,δ,β]
ω0=1;
δ=0;
β=3;
Ap=-2;

Plot[{x[t]/.Am-> 1,x[t]/.Am-> 2,x[t]/. Am-> 3},{t,0,10},AxesLabel-> {"t","x(t)"} ]

Diferentes amortiguaciones

El parámetro β es la amortiguación

Clear[Ap,Am,ω0,δ,β]
ω0=1;
δ=0;
Ap=1;
Am=-2;

Plot[{x[t]/.β-> 2,x[t]/.β-> 3,x[t]/.β-> 4},{t,0,10},AxesLabel-> {"t","x(t)"},PlotRange->All ]