Dos partículas acopladas

Sin rotación

Quit

Posición

Para despejar la posición de cada partícula escribimos la condición para que el centro de masas esté en el origen y la ecuación que define δx

Ecua={(m1 x1[t]+m2 x2[t])/(m1+m2)==0, δx[t]==x2[t]-x1[t]-a}

De donde podemos resolver para las posiciones de cada una de las partículas

Solve[Ecua,{x1[t],x2[t]}]

x1[t_]=-((m2 (a+δx[t]))/(m1+m2))

x2[t_]=((m1 (a+δx[t]))/(m1+m2))

Solución

La solución para la distancia relativa toma la forma

δx[t_]:=A Cos[ω0 t+δ]

Animación

Para hacer una animación les damos valores a las constantes

ω0=2 ;
A=2;
δ=0;
m1=5;
m2=5;
a=5;

Con lo cual tenemos

Animate[Graphics[{Polygon[{{-10,-5},{10,5}}],{Orange,Disk[{x1[t],0},m1/5]},{Red,Disk[{x2[t],0},m2/5]}}],{t,0,10}]

Con rotación

Quit

Posición

Escribiendo la condición para que el centro de masas esté en el origen y la definición de las coordenadas relativas

Ecua={(m1 x1[t]+m2 x2[t])/(m1+m2)==0,(m1 y1[t]+m2 y2[t])/(m1+m2)==0, x[t]==x2[t]-x1[t], y[t]==y2[t]-y1[t]}

Solve[Ecua, {x1[t],x2[t],y1[t],y2[t]}]

x1[t_]:=-((m2 x[t])/(m1+m2))

x2[t_]:=((m1 x[t])/(m1+m2))

y1[t_]:=-((m2 y[t])/(m1+m2))

y2[t_]:=((m1 y[t])/(m1+m2))

Solución

La solución se escribe

x[t_]:=r[t]Cos[θ[t]]

y[t_]:=r[t]Sin[θ[t]]
r[t_]:= rc+δr[t]

δr[t_]:= A Cos[ω0 t+δ]

Donde tenemos que el ángulo está dado por

Integrate[ lz/(m r[t]^2),t]

Es decir que

θ[t_]:=((lz (((2 rc ArcTanh[(((-A+rc) Tan[(1/2) (δ+t ω0)])/(Sqrt[(A^2)-(rc^2)]))])/((((A^2)-(rc^2)))^(3/2)))+((A Sin[δ+t ω0])/((A-rc) (A+rc) (rc+A Cos[δ+t ω0])))))/(m ω0))

Animación

ω0=1/50;
A=2;
δ=0;
m1=8;
m2=5;
rc=8;
lz=5;

m:= m1 m2/(m1+m2)

Animate[Graphics[{Polygon[{{-10,-5},{10,5}}],{Orange,Disk[{x1[t],y1[t]},m1/5]},{Red,Disk[{x2[t],y2[t]},m2/5]}}],{t,0,100}]