Ondas en una dimensión

Cuerda infinita

Quit

Modo hacia la derecha

En términos de una función cualquiera

fp[u_]:=1/(1+u^2);

Plot[fp[u],{u,-10,10},PlotRange->All]

Podemos animar según

c=1;

Animate[Plot[fp[x+c t ],{x,-10,10},PlotRange->{All,{0,1}},Axes-> {True,False}],{t,-15,15}]

Modo hacia la derecha

En términos de una función cualquiera

fm[u_]:=1/4Chop[(1/(1+(u^2)((u^2)-1)))];

Plot[fm[u],{u,-10,10},PlotRange->All]

c=1;

Animate[Plot[fm[x-c t ],{x,-10,10},PlotRange->{All,{-1,1}},Axes-> {True,False}],{t,-15,15}]

Solución general

c=1;

Animate[Plot[fp[x+c t ]+fm[x-c t ],{x,-10,10},PlotRange->{All,{0,2}},Axes-> {True,False}],{t,-15,15}]

Cuerda con un extremo fijo (Dirichlet)

Quit

Modos que se mueven hacia la izquierda y hacia la derecha

fp[u_]:=1/(1+u^2);

Plot[fp[u],{u,-10,10},PlotRange->All]

fm[u_]:=-fp[-u];

Plot[fm[u],{u,-10,10},PlotRange->All]

Animación

c=1

Animate[Plot[fp[x+c t ]+fm[x-c t ],{x,0,20},PlotRange->{{0,20},{-1,1}},Axes-> {True,False}],{t,-25,25}]

Cuerda con un extremo libre (Neumann)

Quit

Modos que se mueven hacia la izquierda y hacia la derecha

fp[u_]:=1/(1+u^2);

Plot[fp[u],{u,-10,10},PlotRange->All]

fm[u_]:=fp[-u];

Plot[fm[u],{u,-10,10},PlotRange->All]

Animación

c=1;

Animate[Plot[fp[x+c t ]+fm[x-c t ],{x,0,20},PlotRange->{{0,20},{0,2.5}},Axes-> {True,False}],{t,-25,25}]

Cuerda ambos extremos fijos (Dirichlet)

Quit

Solución

ϕ[x_,t_]:=Ap Sin[π/L p  x]Sin[π/L p  c t+δ]

Animación

L=10;
c=1;
δ=0;
Ap=1;
p=1;

Animate[Plot[ϕ[x,t],{x,0,L},PlotRange-> {All,{-2,2}}],{t,-10,10}]

Cuerda ambos extremos libres (Neumann)

Quit

Solución

ϕ[x_,t_]:=Cos[π/L p x]Cos[π/L p c t+δ]

Animación

L=10;
c=1/2;
δ=0;
p=3;

Animate[Plot[ϕ[x,t],{x,0,L},PlotRange-> {All,{-1,1}}],{t,-30,30}]

Cuerda un extremos libre (Neumann) y uno fijo (Dirichlet)

Quit

Solución

ϕ[x_,t_]:=Sin[π/L (p+1/2) x]Sin[π/L (p+1/2) c t+δ]

Solución

L=10;
c=1/2;
δ=0;
p=2;

Animate[Plot[ϕ[x,t],{x,0,L},PlotRange-> {All,{-1,1}}],{t,-30,30}]

Solución general y timbre

Analicemos el caso con ambos extremos fijos, se puede repetir casi sin cambios para los otros dos casos

Quit

Solución

ϕ[x_,t_]:=Sum[A[p] Sin[π/L p  x]Sin[π/L p  c t+δ],{p,1,5}]

Animación

A[1]=1;
A[2]=1/2;
A[3]=1/3;
A[4]=1/4;
A[5]=1/5;

L=10;
c=1;
δ=0;
p=1;

Animate[Plot[ϕ[x,t],{x,0,L},PlotRange-> {All,{-2,2}}],{t,-10,10}]